Espacio proyectivo

En matemáticas, el espacio proyectivo es el conjunto P(V) de líneas que pasan a través del origen de un espacio vectorial V. Cuando V=R² o V=R³ son conocidos como recta proyectiva y plano proyectivo, respectivamente.

La idea de un espacio proyectivo se relaciona con la perspectiva, más precisamente con la forma en la que un ojo o una cámara proyecta una escena 3D sobre una imagen 2D. Todos los puntos que se encuentran sobre una línea de proyección (i.e., un "línea de visión"), intersecando con el punto focal de la cámara, se proyectan en un punto de imagen común. En este caso, el espacio vectorial es R³, con el punto focal de la cámara como origen y el espacio proyectivo corresponde a los puntos de imagen.

Los espacios proyectivos pueden ser estudiados como campos separados en matemáticas, pero también pueden ser usados en varios campos de aplicación, en particular, en geometría. Los objetos geométricos, tales como puntos, rectas, o planos, pueden tener una representación como elementos en espacios proyectivos basados en coordenadas homogéneas. Como resultado, varias relaciones entre esos objetos pueden ser descritas de la manera más simple posible sin coordenadas homogéneas. Más aún, varios enunciados en geometría pueden hacerse más consistentes y sin excepciones. Por ejemplo, en la geometría estándar, para el plano, dos rectas siempre intersecan en un punto excepto cuando éstas son paralelas. En una representación proyectiva de rectas y puntos, sin embargo, ese punto de intersección existe incluso para rectas paralelas, y este puede ser calculado de la misma manera que otros puntos de intersección.

Otros campos matemáticos donde los espacios proyectivos juegan un papel importante son la topología, la teoría de grupos de Lie y los grupos algebraicos, y sus teorías de representación.